1. 零常返的等价条件.

1.1 若 $i$ 零常返, 则 $\newcommand{\nlim}{\lim\limits_{n\to\infty}} \nlim p_{ii}^{(nd)} = 0$, 当 $d \nmid n$ 时, $p_{ii}^{(n)} = 0$, 从而有 $\nlim p_{ii}^{(n)} = 0$.

1.2 若 $\nlim p_{ii}^{(n)} = 0$, 则 $\nlim p_{ii}^{(nd)} = 0$, 从而 $i$ 是零常返.

2. 遍历的等价条件.

2.1 若 $i$ 为遍历, 则由定理 3.3.6 知, $\nlim p_{ii}^{(n)} = \dfrac{1}{\mu_i} > 0$.

2.2 若 $\nlim p_{ii}^{(n)} = \dfrac{1}{\mu_i} > 0$, 则由本定理第一点知, $i$ 为正常返; 由定理 3.3.6 知, $d = 1$, 从而遍历. 证毕.